Sistem Persamaan Linier

A. Pengertian

Fungsi linier adalah fungsi yang berbentuk garis lurus dan biasa disebut juga dengan persamaan garis lurus. Bentuk umum fungsi linier adalah:

m disebut gradien (kemiringan garis) 

Contoh fungsi linier: 

 a. 𝑦 = 2𝑥 + 3 

b. 3𝑥 − 𝑦 + 4 = 0
 

B. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

Sistem persamaan linier dua variabel adalah dua buah persamaan linier dua variabel yang hanya mempunyai satu penyelesaian. 

Bentuk umum sistem persamaan linier dua variabel adalah: 

ax + by = p          dengan x, y disebut variabel 

cx + dy = q          a, b, c, d disebut koefisien.  

Contoh: 

4x + y = 12 

2x + y = 8 

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dapat dilakukan dengan metode grafik, eliminasi, substitusi dan gabungan eliminasi substitusi.  

1. Metode Grafik

    Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier dua variabel adalah koordinat titik potong dua garis tersebut. Jika garis – garisnya tidak berpotongan di satu titik tertentu maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong. 

    Contoh: 

    Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 5 dan x – y = 1 jika x, y variabel pada himpunan bilangan real. 

    Jawab: 

    Buat tabel nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

    Dari grafik tampak bahwa koordinat titik potong kedua garis adalah (3,2). Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 5 dan x – y = 1 adalah {(3,2)}. 

2. Metode Eliminasi

    Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier dua variabel adalah dengan menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan tersebut. Jika variabelnya x dan y, maka untuk menentukan variabel x kita harus mengilangkan variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya. 

    Contoh: 

    Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 4x + y = 12 dan 2x + y = 8 dan jika x, y variabel pada himpunan bilangan real!

    Jawab: 

    Koefisien variabel y sama maka bisa langsung kita hilangkan dengan cara mengurangkan 

    Langkah berikutnya adalah mengeliminasi variabel x tetapi terlebih dahulu disamakan koefisiennya

    Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 4x + y = 12 dan 2x + y = 8 adalah {(2,4)}.

3. Metode Substitusi

    Menggantikan variabel di salah satu persamaan dengan variabel dari persamaan yang lain dengan langkah sebagai berikut: 

    - Tulis salah satu persamaan menjadi y = ... atau x = ... 

    - Subsitusikan ke persamaan kedua sebagai pengganti variabel tersebut 

    Contoh: 

    Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 4x + y = 12 dan 2x + y = 8 dan jika x, y variabel pada himpunan bilangan real! 

    Jawab: 

    2x + y = 8 ↔ y = 8 – 2x 

    y = 8 – 2x disubstitusikan ke persamaan 4x + y = 12, menjadi: 

    4x + 8 – 2x = 12 

    4x – 2x + 8 = 12 

    2x = 12 – 8 

    2x = 4 

    x = 2 

    Nilai x = 2 disubstitusikan ke satu persamaan untuk mendapatkan nilai y 

    4x + y = 12 

    4.2 + y = 12 

    8 + y =12 

    y = 12 – 8 = 4 

    Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 4x + y = 12 dan 2x + y = 8 adalah {(2,4)}. 

4. Metode Substitusi dan Eliminasi

    Langkah penyelesaiannya adalah untuk mendapatkan salah satu nilai variabelnya menggunakan metode eliminasi dan langkah berikutnya untuk mendapatkan nilai variabel kedua menggunakan metode subtitisi. 

    Contoh: 

    Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 4x + y = 12 dan 2x + y = 8 dan jika x, y variabel pada himpunan bilangan real! 

    Jawab: 

    Langkah pertama dengan eliminasi

    Langkah kedua dengan substitusi 

    Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 4x + y = 12 dan 2x + y = 8 adalah {(2,4)}.