Sistem bilangan yang dikenal
sekarang ini merupakan suatu hasil dari perkembangan secara bertahap dan dapat
ditunjukkan sebagai berikut:
1. Bilangan
Asli
Dinamakan juga bilangan bulat positif.
2. Bilangan
Bulat Negatif dan Nol
3. Bilangan
Rasional dan Pecahan
Dapat dinyatakan menjadi (a : b)
4. Bilangan
Irasional
Tidak dapat dinyatakan menjadi (a : b)
Himpunan bilangan rasional dan irasional
dinamakan himpunan bilangan riil.
B. Sistem Bilangan Imajiner
Selain bilangan riil,
terdapat pula bilangan imajiner. Bilangan imajiner merupakan bilangan khayalan,
artinya bilangan ini sebenarnya tidak ada dan hanya dapat dituliskan saja. Berbeda
dengan bilangan real, bilangan rasional, maupun bilangan bulat yang dapat
direpresentasikan untuk mempermudah dalam pemahaman.
C.
Sistem
Bilangan Kompleks
Tidak ada bilangan riil x yang
memenuhi persamaan suku banyak x2 + 1 = 0.
Untuk memperbolehkan adanya jawaban dari persamaan ini dan yang sejenisnya,
maka himpunan bilangan kompleks diperlukan.
Kita dapat melihat suatu
bilangan kompleks sebagai bilangan yang berbentuk a + bi, dimana a dan b
bilangan riil dan i satuan khayal (imajinary) bersifat i2 = -1.
Jika z = a + bi, maka a
dinamakan bagian real dari z dan b dinamakan bagian khayal dari z dan berturut
– turut dinyatakan dengan Re{z} dan Im{z}.
D.
Asal Bilangan Kompleks
Mengapa bisa muncul bilangan akar dari negatif 1
Bilangan tersebut berasal dari akar – akar persamaan kuadrat yang diperoleh dengan menggunakan rumus ABC.
Apabila D < 0 maka
sebuah persamaan kuadrat tidak memiliki akar real. Akar – akar tersebut
merupakan akar imajiner dan digunakan lambang i.
Contoh:
Carilah akar – akar persamaan kuadrat x2 - 4x + 5 = 0!
Jawab:
Dengan menggunakan rumus ABC diperoleh:
Akar – akar tersebut merupakan akar imajiner dan digunakan lambang i maka dapat dituliskan:
Penulisan bilangan kompleks z
= a+bi sering disingkat sebagai pasangan terurut (a,b), oleh karena itu
bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam suatu bidang datar seperti halnya
koordinat titik dalam sistem koordinat kartesius q Bidang yang digunakan
untuk menggambarkan bilangan kompleks disebut bidang kompleks atau bidang
argand.
Contoh:
1. Buatlah
grafik bilangan kompleks berikut : x = 4 + 6j dimana:
4 merupakan bilangan real positif dan 6j merupakan bilangan imajiner
positif!
Jawab:
2. Buatlah
grafik bilangan kompleks berikut : x = -4 + 3j dimana:
-4 merupakan bilangan real negatif 3j merupakan
bilangan imajiner positif!
Jawab:
E.
Operasi
Dasar Bilangan Kompleks
Bentuk operasi bilangan kompleks dapat
diselesaikan seperti pada aljabar bilangan riil dengan menggantikan i2
dengan -1.
1. Penjumlahan
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Contoh:
(3 + 4i) + (2 – 8i) = (3 + 2) + (4i – 8i)
=
5 + (-4i)
=
5 – 4i
2. Pengurangan
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
Contoh:
(6 + 3i) – (3 – 2i) = (6 – 3) + (3i – (-2i))
= 3 + 5i
3. Perkalian
(a + bi)(c + di) = ac + adi +
bci + bdi2
= (ac – bd) + (ad + bc)i
Contoh:
(1 + 3i)(5 – 4i) = 5 + (-4i) + 15i – 12 i2
= 5 + (-4i) + 15i – 12
(-1)
= 17 + 11i
4. Pembagian
F.
Nilai
Mutlak
Nilai mutlak atau modulus suatu bilangan kompleks a + bi didefinisikan sebagai
Contoh:
Jika
Contoh:
Hitunglah setiap bentuk
berikut jika z1 = 1 – I dan z2 = −2 + 4i !
1.
|2z2
− 3z1|2
2.
|z1 z2
+ z2 z1|
Jawab:
G.
Bentuk
Kutub Bilangan Kompleks
Jika P adalah suatu titik di bidang kompleks yang dikaitkan dengan bilangan kompleks (x, y)
atau x + iy, maka kita dapat melihat dari gambar di bawah ini:
dinamakan modulus atau nilai mutlak dari
z = x + iy (dinyatakan dengan mod z atau |z|)
θ dinamakan amplitude atau argumen dari z
= x + iy (dinyatakan dengan arg z) adalah sudut antara garis 0P dengan sumbu x
positif.
Hal tersebut akan mengakibatkan
|
z = x + iy = r (cos θ + i sin θ) |
H.
Hasil
Kali Titik dan Silang
Misal z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2 dua bilangan kompleks (vektor).
Hasil kali titik (juga dinamakan hasil kali skalar) dari z1 dan z2 didefinisikan dengan
z1 . z2 = | z1||z2| cos θ = x1 x2 + y1 y2 = Re{z1 . z2}
di
mana
Hasil
kali silang dari
Jelas bahwa
z1 z2 = ( z1 . z2) + i( z1 x z2)